Sistem Bilangan Biner dan Penerapannya dalam Kehidupan Sehari-Hari

            Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atauHexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.

            Contoh dari bilangan biner: 10011100

            Seperti yang anda lihat itu hanya sekelompok nol dan yang, ada 8 angka dan angka-angka tersebut adalah bilangan biner 8 bit. Bit adalah singkatan dari Binary Digit, dan angka masing-masing digolongkan sebagai bit :

• Bit di paling kanan, angka 0, dikenal sebagai Least Significant Bit (LSB).
• Bit di paling kiri, angka 1, dikenal sebagai bit paling signifikan (Most significant bit = MSB)

            Notasi yang digunakan dalam sistem digital:

• 4 bits = Nibble
• 8 bits = Byte
• 16 bits = Word
• 32 bits = Double word
• 64 bits = Quad Word (or paragraph)

            Sebagai contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:

157₍₁₀₎ = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)

            bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dst.

A.    Mengenal Konsep Bilangan Biner dan Desimal

Perbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!

Untuk Desimal:

14₍₁₀₎ = (1 x 10¹) + (4 x 10⁰)

= 10 + 4

= 14

Untuk Biner:

1110₍₂₎ = (1 x 2³) + (1 x 2²) + (1 x 2¹) + (0 x 2⁰)

= 8 + 4 + 2 + 0

= 14

a.      Mengubah Angka Biner ke Desimal

            Perhatikan contoh!

            1. 11001101₍₂₎

Biner	1	1	0	0	1	1	0	1	11001101
Desimal	128	64	0	0	8	4	0	1	205
Pangkat	27	26	25	24	23	22	21	20	X1-7

·         Angka desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1).

·         Setiap biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak dihitung, alias “0” juga.

b.      Mengubah Angka Desimal ke Biner

            Untuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil memperhatikan sisanya.

Perhatikan contohnya

205₍₁₀₎

205 : 2 = 102 sisa 1

102 : 2 = 51 sisa 0

51 : 2 = 25 sisa 1

25 : 2 = 12 sisa 1

12 : 2 = 6 sisa 0

6 : 2 = 3 sisa 0

3 : 2 = 1 sisa 1

1 → sebagai sisa akhir “1”

Note:

Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(₂)

B.     Aritmatika Biner

            Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.

a.      Penjumlahan Biner

            Ada 4 kondisi dalam penjumlahan bilangan biner (0+0, 1+0, 0+1, 1+1). Jika yang terjadi adalah 1+1, hasilnya tidak bisa lebih dari 1 digit. tetapi disimpan (CarryOut) kedalam kolom yang lebih tinggi. Contoh pada bilangan desimal.

2+7=9 (CarryOut = 0), 5+17=23 (CarryOut = 1)

            Yang dimaksud CarryOut adalah penyimpanan angka, lihat contoh diatas. 2+7=9 CarryOut = 0 karena tidak ada bilangan yang disimpan. 5+17=3 sisa 1, 1-nya ini digantung diatas , lalu 1+1=2, jadi hasilnya 23. 1 yang digantung diatas itulah yang disebut CarryOut.

           

            Contoh pada bilangan biner :

10+10 (1 dan 0)=

 1 = CarryOut

  10                    

  10+

100

            Dari mana 100? Dalam bilangan biner hanya terdapat 2 angka (0 dan 1), jadi tidak ada angka lainnya selain  0 dan 1. jadi inilah uraiannya:

0+0=0

1+1=10  Kenapa bisa 10? Pertama kita harus memakai kode 8421. Contoh, jika 2=0010, jika 4=0100, jika 5=0101 (4+1), jika 7=0111 (4+2+1), jika 10=1010 (8+4), jika 15=1111 (8+4+2+1). Jadi 1+1=2 dalam bilangan binernya 0010.

b.      Pengurangan Biner

            Dalam bilangan biner ada dua cara dalam pengurangan yaitu dengan 1s complement atau 2s complement, perbedaan antara keduanya yaitu:

            1s complement adalah suatu cara untuk membalikkan bilangan negatif menjadi positif (karena sebetulnya dalam bahasa komputer tidak dikenali pengurangan) sehingga pengurangan ini menjadi penjumlahan. 1s complement dari suatu bilangan dilakukan dengan mengubah 0 menjadi 1 dan 1 menjadi 0, misalnya:

10001

↓↓↓↓↓

01110

            2s complement kurang lebih memiliki fungsi yang sama dengan 1s complement yaitu membuat suatu bilangan negatif menjadi positif, namun cara 2s complement agak sedikit berbeda yaitu 1s complement yang ditambah dengan 1, misalnya:

10001

↓↓↓↓↓

01110

Kemudian

01110

        1

______+

01111

            Jadi 2s complement dari 10001 adalah 01111 dan 1s complement-nya adalah 01110.

            sekarang mari kita beralih ke aplikasi 1s complement dan 2s complement dalam pengurangan bilangan biner.

contoh 1:

dengan 2s complement hitunglah (10101₂-10001₂) dan (10001₂-10101₂).

1.      bilangan pengurang yaitu 10001 diubah ke 2s complement-nya yaitu 01111, kemudian layaknya seperti penjumlahan biner:

  10101

  01111 +

100100

            perhatikan angka 1 yang diberi warna merah itu adalah carrier (sisa simpanan akhir) dengan metode 2s complement bila ditemukan hal seperti itu maka hasil pengurangan pada contoh diatas adalah 100

2.      bilangan pengurang yaitu 10101 diubah ke 2s complement-nya yaitu 01011, kemudian layaknya seperti penjumlahan biner:

  10001

  01011 +

011100

          Perhatikan angka 0 yang diberi warna merah dengan metode 2s complement bila ditemukan hal seperti itu (tidak ada carrier) maka hasil pengurangan pada contoh diatas maka 11100 di 2s complement-kan menjadi 00100, jadi hasil akhir dari contoh soal kedua ini adalah -100.

C.     Komplemen

            Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:

“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”.

Lihat contoh :

Bilangan Desimal                    123 651 914

Komplemen Sembilan             876 348 085

Komplemen Sepuluh               877 349 086 → ditambah dengan 1

            Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!

Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!

            Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh.

893                  893                              893

321                  678 (komp. 9)             679 (komp. 10)

---- -                 ---- +                           ---- +

572                  1571                            1572

     1

---- +

                                    572  à angka 1 dihilangkan

            Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .

Bilangan Biner                        110011            101010            011100

Komplemen Satu                    001100            010101            100011

Komplemen Dua                     001101            010110            100100

            Pengurangan biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini :

110001                110001                110001

001010                110101                110110

--------- -                --------- +               --------- +

100111                100111            1100111

                                                                                                            dihilangkan              

            Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol.

D.   Sistem Oktal dan Heksa Desimal

            Bilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis 16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner.

1. Ubahlah bilangan oktal 6305₍₈₎ menjadi bilangan biner.

6          3          0          5                      à oktal

110      011      000      101                  à biner

·         Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)

·         Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah

2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner !

            heks     à biner

5          à 0101

D         à 1101

9          à 1001

3          à 0011

·         Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011

·         Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah

3. Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !

001      010      100      001      101                  à biner

3          2          4          1          5                      à oktal

·         Kelompokkan bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan

4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan heks !

0010                1101                0110                1100                1011    à biner

2                      D                     6                      C                     B         à heks

Tabel digit oktal

Digit Oktal	Ekivalens 3-Bit
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Tabel digit heksa desimal

Digit Desimal	Ekivalens 4-Bit
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A (10)	1010
B (11)	1011
C (12)	1100
D (13)	1101
E (14)	1110
F (15)	1111

E.     Penerapan operasi bilangan biner dalam kehidupan sehari-hari

1.      Kalkulator

            Mesin hitung atau Kalkulator adalah alat untuk menghitung dari perhitungan sederhana seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian sampai kepada kalkulator sains yang dapat menghitung rumus matematika tertentu.

           Kalkulator bekerja sangat akurat dan mampu memberikan jawaban dengan cepat atas soal hitungan yang sulit. Di dalam kalkulator elektronis terdapat sakelar pemutus arus listrik yang sangat kecil. Sakelar tersebut merupakan “otak” dari kalkulator yang dijalankan dengan energi listrik. Sakelar pemutus arus mengerjakan semuanya, lalu menunjukkan hasil perhitungan pada layar kecil kalkulator.

            Semua kalkulator elektronis bekerja dengan cara yang hampir sama. Kalkulator ini menggunakan cara penambahan yang sangat cepat untuk menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi. Ketika menekan tombol pada kalkulator, maka kita menggunakan angka-angka sederhana seperti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sebuah kalkulator bekerja dengan sebuah sistem yang disebut dengan sistem biner. Sistem biner adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol (digit), yaitu 0 dan 1. Sistem ini disebut juga sebagai bit atau binary digit.

            Sistem bilangan biner berbeda dengan sistem bilangan desimal. Bilangan desimal menggunakan angka-angka mulai dari 0 hingga 9. Sementara bilangan biner hanya menggunakan angka 0 dan 1. Sistem ini dipakai sebagai dasar penulisan bilangan berbasis digital. Kalkulator elektronis diprogram berdasarkan digital. Oleh karena itu, digunakanlah sistem biner. Untuk mengerjakan soal hitungan, langkah pertama yang dilakukan oleh kalkulator adalah mengubah angka-angka desimal tersebut menjadi angka biner. Setelah melalui proses hitung secara biner, hasil hitung kemudian diubah kembali ke dalam angka-angka desimal tadi untuk menunjukkan hasil perhitungan pada layar kalkulator.

            Contohnya, jika menekan angka 5 pada kalkulator, maka sistem akan mengubah angka 5 tersebut menjadi angka biner, yaitu “101”. Angka tersebut kemudian disimpan di dalam memori dan akan digunakan untuk melakukan penjumlahan.

2.      Komputer

            Prinsip kerja komputer adalah perhitungan, yaitu menghitung susunan angka-angka yang disebut dengan bilangan biner, atau basis 2, yaitu 0 dan 1. jadi sebenarnya komputer tidak mengenal gambar, warna, suara  bahkan angka-angka yang kita kenal selama ini: 3,4,5 dan seterusnya, yang disebut data. Untuk mengenal data ini, komputer mengubah semuanya menjadi bilangan biner.

            Jadi jika ada data berupa angka 3 dan 5, komputer harus mengubahnya dahulu kedalam bilangan biner. Angka 3 dalam bilangan biner adalah 11 dan 5 adalah 101. setelah itu, komputer memproses perhitungannya lebih lanjut. Demikian pula dengan warna atau gambar. Semuanya harus diubah dalam bentuk bilangan biner agar dpat dilakukan perhitungan atau perubahan. Semua proses pengolahan data, seperti perhitungan, perubahan warna atau gambar disebut manipulasi data. Komputer menggunakan bilangan biner karena bilangan ini mirip atau serupa dengan sifat dan logika listrik atau magnet. 0 dan 1, mati dan hidup, ada arus dan tidak ada arus, utara dan selatan. Dengan demikian, karena komputer merupakan alat yang bekerja dengan listrik, lebih mudah jika semua data dikonversikan dalam bilangan biner. Demikianlah komputer bekerja.

REFERENSI

1.      http://sutondoscript.blogspot.com/2011/12/sistem-digital-dalam-kehidupan-sehari.html

2.      http://dholphie.wordpress.com/category/komputer/page/2/

3.      http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan_biner

4.      http://dunovteck.wordpress.com/2011/08/05/bilangan-biner-binary/

5.      http://desylvia.wordpress.com/2010/09/21/bilangan-desimal-biner-hexa-octal/

6.      http://blograkata.blogspot.com/2012/03/menghitung-penjumlahan-bilangan-biner.html

7.      http://a114308201005353.wordpress.com/2011/11/26/penjumlahan-pengurangan-perkalian-dan-pembagian-dalam-bilangan-biner/