Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah
sebuah sistem penulisan angka dengan
menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1.
Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17.
Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis
digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atauHexadesimal.
Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit,
atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu
berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita.
Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer,
seperti ASCII, American
Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an
1 Byte.
Contoh
dari bilangan biner: 10011100
Seperti
yang anda lihat itu hanya sekelompok nol dan yang, ada 8 angka dan angka-angka
tersebut adalah bilangan biner 8 bit. Bit adalah singkatan dari Binary Digit,
dan angka masing-masing digolongkan sebagai bit :
- Bit
di paling kanan, angka 0, dikenal sebagai Least Significant Bit (LSB).
- Bit
di paling kiri, angka 1, dikenal sebagai bit paling signifikan (Most
significant bit = MSB)
Notasi
yang digunakan dalam sistem digital:
- 4
bits = Nibble
- 8
bits = Byte
- 16
bits = Word
- 32
bits = Double word
- 64
bits = Quad Word (or paragraph)
Sebagai
contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:
157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)
bilangan
desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10
yang didapat dari 100, 101, 102, dst.
A.
Mengenal Konsep Bilangan Biner dan
Desimal
Perbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal
adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan
10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x.
Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!
Untuk Desimal:
14(10) = (1 x 101) + (4 x 100)
= 10 + 4
= 14
Untuk Biner:
1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22)
+ (1 x 21) + (0 x 20)
= 8 + 4 + 2 + 0
= 14
a.
Mengubah Angka Biner ke Desimal
Perhatikan
contoh!
1.
11001101(2)
|
Biner
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
11001101
|
|
Desimal
|
128
|
64
|
0
|
0
|
8
|
4
|
0
|
1
|
205
|
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
·
Angka desimal 205 didapat dari
penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1).
·
Setiap biner yang bertanda “1” akan
dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak dihitung, alias “0” juga.
b.
Mengubah
Angka Desimal ke Biner
Untuk
mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan
angka 2 sambil memperhatikan sisanya.
Perhatikan contohnya
205(10)
205 : 2 = 102 sisa 1
102 : 2 = 51 sisa 0
51 : 2 = 25 sisa 1
25 : 2 = 12 sisa 1
12 : 2 = 6 sisa 0
6 : 2 = 3 sisa 0
3 : 2 = 1 sisa 1
1 → sebagai sisa akhir “1”
Note:
Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan
dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(2)
B.
Aritmatika Biner
Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner.
Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas
pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.
a.
Penjumlahan Biner
Ada 4 kondisi
dalam penjumlahan bilangan biner (0+0, 1+0, 0+1, 1+1). Jika yang terjadi adalah
1+1, hasilnya tidak bisa lebih dari 1 digit. tetapi disimpan (CarryOut) kedalam
kolom yang lebih tinggi. Contoh pada bilangan desimal.
2+7=9 (CarryOut = 0), 5+17=23 (CarryOut = 1)
Yang
dimaksud CarryOut adalah penyimpanan angka, lihat contoh diatas. 2+7=9 CarryOut
= 0 karena tidak ada bilangan yang disimpan. 5+17=3 sisa 1, 1-nya ini digantung
diatas , lalu 1+1=2, jadi hasilnya 23. 1 yang digantung diatas itulah yang
disebut CarryOut.
Contoh
pada bilangan biner :
10+10 (1 dan 0)=
1 = CarryOut
10
10+
100
Dari
mana 100? Dalam bilangan biner hanya terdapat 2 angka (0 dan 1), jadi tidak ada
angka lainnya selain 0 dan 1. jadi inilah uraiannya:
0+0=0
1+1=10 Kenapa bisa 10? Pertama kita harus
memakai kode 8421. Contoh, jika 2=0010, jika 4=0100, jika 5=0101 (4+1), jika
7=0111 (4+2+1), jika 10=1010 (8+4), jika 15=1111 (8+4+2+1). Jadi 1+1=2 dalam
bilangan binernya 0010.
b.
Pengurangan Biner
Dalam
bilangan biner ada dua cara dalam pengurangan yaitu dengan 1s complement atau
2s complement, perbedaan antara keduanya yaitu:
1s complement adalah suatu cara
untuk membalikkan bilangan negatif menjadi positif (karena sebetulnya dalam
bahasa komputer tidak dikenali pengurangan) sehingga pengurangan ini menjadi
penjumlahan. 1s complement dari suatu bilangan dilakukan dengan mengubah 0
menjadi 1 dan 1 menjadi 0, misalnya:
10001
↓↓↓↓↓
01110
2s complement kurang lebih
memiliki fungsi yang sama dengan 1s complement yaitu membuat suatu bilangan
negatif menjadi positif, namun cara 2s complement agak sedikit berbeda yaitu 1s
complement yang ditambah dengan 1, misalnya:
10001
↓↓↓↓↓
01110
Kemudian
01110
1
______+
01111
Jadi
2s complement dari 10001 adalah 01111 dan 1s complement-nya
adalah 01110.
sekarang
mari kita beralih ke aplikasi 1s complement dan 2s complement dalam pengurangan
bilangan biner.
contoh 1:
dengan 2s complement hitunglah (101012-100012)
dan (100012-101012).
1.
bilangan pengurang yaitu 10001 diubah ke
2s complement-nya yaitu 01111, kemudian layaknya seperti penjumlahan biner:
10101
01111
+
100100
perhatikan angka 1 yang diberi warna merah itu
adalah carrier (sisa simpanan akhir) dengan metode 2s complement bila ditemukan
hal seperti itu maka hasil pengurangan pada contoh diatas adalah 100
2. bilangan
pengurang yaitu 10101 diubah ke 2s complement-nya yaitu 01011, kemudian
layaknya seperti penjumlahan biner:
10001
01011 +
011100
Perhatikan angka 0 yang diberi
warna merah dengan metode 2s complement bila ditemukan hal seperti
itu (tidak ada carrier) maka hasil pengurangan pada contoh diatas maka 11100 di 2s complement-kan
menjadi 00100, jadi hasil
akhir dari contoh soal kedua ini adalah -100.
C. Komplemen
Salah
satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang
ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen
satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di
dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan
disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen
di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua).
Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:
“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh
dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9,
sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”.
Lihat contoh :
Bilangan Desimal 123 651 914
Komplemen Sembilan 876
348 085
Komplemen Sepuluh 877 349 086 → ditambah dengan 1
Perhatikan
hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan
memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple
menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!
Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1
pada komplemen 9, berarti 876+1=877!
Pengurangan
desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu,
atau penjumlahan dari komplemen sepuluh.
893 893 893
321 678 (komp. 9) 679 (komp. 10)
---- - ---- +
---- +
572 1571 1572
1
---- +
572 Ã angka 1 dihilangkan
Analogi yang bisa diambil dari
perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner
diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke
bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1
atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua
adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .
Bilangan Biner 110011 101010 011100
Komplemen Satu 001100 010101 100011
Komplemen Dua 001101 010110 100100
Pengurangan biner 110001 – 1010 akan
kita telaah pada contoh di bawah ini :
110001 110001 110001
001010 110101 110110
---------
- --------- + --------- +
100111 100111 1100111
dihilangkan
Alasan
teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan
memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang
membaca nol.
D.
Sistem Oktal dan Heksa Desimal
Bilangan
oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat
menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis 16. Karena oktal dan heks ini
merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat.
oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner.
1.
Ubahlah bilangan oktal 6305(8) menjadi bilangan biner.
6 3 0 5 Ã oktal
110 011 000 101 Ã biner
·
Masing-masing digit oktal
diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)
·
Untuk lebih jelasnya lihat
tabel Digit Oktal di bawah
2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan
biner !
heks à biner
5 Ã
0101
D Ã
1101
9 Ã
1001
3 Ã
0011
·
Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316
adalah 0101110110010011
·
Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit
Heksadesimal di bawah
3.
Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !
001 010 100 001 101 Ã
biner
3 2
4 1 5 Ã
oktal
·
Kelompokkan bilangan biner yang
bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan
4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011
menjadi bilangan heks !
0010 1101 0110 1100 1011 Ã biner
2 D
6 C B Ã heks
Tabel digit oktal
|
Digit
Oktal
|
Ekivalens
3-Bit
|
|
0
|
000
|
|
1
|
001
|
|
2
|
010
|
|
3
|
011
|
|
4
|
100
|
|
5
|
101
|
|
6
|
110
|
|
7
|
111
|
Tabel digit heksa desimal
|
Digit
Desimal
|
Ekivalens
4-Bit
|
|
0
|
0000
|
|
1
|
0001
|
|
2
|
0010
|
|
3
|
0011
|
|
4
|
0100
|
|
5
|
0101
|
|
6
|
0110
|
|
7
|
0111
|
|
8
|
1000
|
|
9
|
1001
|
|
A (10)
|
1010
|
|
B (11)
|
1011
|
|
C (12)
|
1100
|
|
D (13)
|
1101
|
|
E (14)
|
1110
|
|
F (15)
|
1111
|
E.
Penerapan
operasi bilangan biner dalam kehidupan sehari-hari
1. Kalkulator
Mesin
hitung atau Kalkulator adalah alat untuk menghitung dari perhitungan sederhana
seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian sampai kepada
kalkulator sains yang dapat menghitung rumus matematika tertentu.
Kalkulator
bekerja sangat akurat dan mampu memberikan jawaban dengan cepat atas soal
hitungan yang sulit. Di dalam kalkulator elektronis terdapat sakelar pemutus
arus listrik yang sangat kecil. Sakelar tersebut merupakan “otak” dari
kalkulator yang dijalankan dengan energi listrik. Sakelar pemutus arus
mengerjakan semuanya, lalu menunjukkan hasil perhitungan pada layar kecil
kalkulator.
Semua
kalkulator elektronis bekerja dengan cara yang hampir sama. Kalkulator ini
menggunakan cara penambahan yang sangat cepat untuk menambah, mengurangi,
mengalikan, dan membagi. Ketika menekan tombol pada kalkulator, maka kita
menggunakan angka-angka sederhana seperti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.
Sebuah kalkulator bekerja dengan sebuah sistem yang disebut dengan sistem
biner. Sistem biner adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua
simbol (digit), yaitu 0 dan 1. Sistem ini disebut juga sebagai bit atau binary
digit.
Sistem
bilangan biner berbeda dengan sistem bilangan desimal. Bilangan desimal
menggunakan angka-angka mulai dari 0 hingga 9. Sementara bilangan biner hanya
menggunakan angka 0 dan 1. Sistem ini dipakai sebagai dasar penulisan bilangan
berbasis digital. Kalkulator elektronis diprogram berdasarkan digital. Oleh
karena itu, digunakanlah sistem biner. Untuk mengerjakan soal hitungan, langkah
pertama yang dilakukan oleh kalkulator adalah mengubah angka-angka desimal
tersebut menjadi angka biner. Setelah melalui proses hitung secara biner, hasil
hitung kemudian diubah kembali ke dalam angka-angka desimal tadi untuk
menunjukkan hasil perhitungan pada layar kalkulator.
Contohnya,
jika menekan angka 5 pada kalkulator, maka sistem akan mengubah angka 5
tersebut menjadi angka biner, yaitu “101”. Angka tersebut kemudian disimpan di
dalam memori dan akan digunakan untuk melakukan penjumlahan.
2. Komputer
Prinsip
kerja komputer adalah perhitungan, yaitu menghitung susunan angka-angka yang
disebut dengan bilangan biner, atau basis 2, yaitu 0 dan 1. jadi sebenarnya
komputer tidak mengenal gambar, warna, suara
bahkan angka-angka yang kita kenal selama ini: 3,4,5 dan seterusnya,
yang disebut data. Untuk mengenal data ini, komputer mengubah semuanya menjadi
bilangan biner.
Jadi
jika ada data berupa angka 3 dan 5, komputer harus mengubahnya dahulu kedalam
bilangan biner. Angka 3 dalam bilangan biner adalah 11 dan 5 adalah 101.
setelah itu, komputer memproses perhitungannya lebih lanjut. Demikian pula
dengan warna atau gambar. Semuanya harus diubah dalam bentuk bilangan biner
agar dpat dilakukan perhitungan atau perubahan. Semua proses pengolahan data,
seperti perhitungan, perubahan warna atau gambar disebut manipulasi data.
Komputer menggunakan bilangan biner karena bilangan ini mirip atau serupa
dengan sifat dan logika listrik atau magnet. 0 dan 1, mati dan hidup, ada arus
dan tidak ada arus, utara dan selatan. Dengan demikian, karena komputer
merupakan alat yang bekerja dengan listrik, lebih mudah jika semua data
dikonversikan dalam bilangan biner. Demikianlah komputer bekerja.
REFERENSI
